Нейросети упростят сложные расчеты в науке и финансах

Работа опубликована в журнале Scientific Reports. «Построение координатной сетки — ключевая задача для моделирования. Она нужна, чтобы разбить сложное пространство на маленькие понятные кусочки, где можно точно считать, как меняются разные величины — температура, скорость, давление и так далее. Без хорошей сетки расчеты становятся либо неточными, либо вообще невозможными: в физике они помогают моделировать движение жидкостей и газов, в биологии — рост тканей и распространение лекарств, в финансах — предсказывать колебания рынков. Предложенный подход открывает новые возможности в построении сеток с помощью искусственного интеллекта», — отмечает первый автор работы Бари Хайруллин, аспирант программы «Вычислительные системы и анализ данных в науке и технике» Сколтеха.

В отличие от традиционных методов, например уравнений Уинслоу, которые требуют численного решения систем дифференциальных уравнений, новая архитектура трактует нейросеть как диффеоморфизм между регулярной и физической областями. Это позволяет аналитически вычислять якобиан преобразования и оперативно перестраивать сетку при изменении распределения узлов.

Авторы рассмотрели два варианта — с использованием физических функционалов (Physics-Informed Neural Networks, PINN) и без них. Во втором случае удалось вывести аналитические оценки, обеспечивающие невырожденность отображения, контроль знака и нижней границы детерминанта якобиана. Это позволяет предотвратить появление перегибов и гарантировать биективность отображения.

Ключевое отличие предложенной архитектуры от существующих, таких как MGNet, заключается в использовании остаточных связей между слоями. Это позволяет интерпретировать отображение как последовательность малых деформаций, начиная от тождественного преобразования, и обеспечивает гибкий локальный контроль качества построенной сетки.

Численные эксперименты подтвердили эффективность подхода, в том числе для многосвязных областей, где особенно важна точность аппроксимации геометрии при решении уравнений в частных производных.

«Обработка геометрических преобразований с помощью нейросетей может стать новым этапом в развитии методов генерации сеток, — объясняет соавтор исследования Сергей Рыковaнов, руководитель Лаборатории суперкомпьютеров в искусственном интеллекте в Центре ИИ Сколтеха. — Следующим шагом станет обобщение результатов на трехмерные области».

Часть вычислений была выполнена на суперкомпьютере «Жорес» в Сколтехе.